القاسم المشترك الأكبر لعددين

نحسب القاسم المشترك الأكبر لعددين طبيعيين بطريقة الطرح المتتالي وخوارزمية إقليدس، ونستعمله لاختزال الكسور وحل مشكلات.

فريق أساتذة توب أكاديمي 2 دقائق قراءة آخر تحديث 14 سبتمبر 2026

أهداف الدرس

تعيين قواسم عدد طبيعي
حساب PGCD بخوارزمية إقليدس
التعرف على عددين أوليين فيما بينهما
جعل كسر غير قابل للاختزال

القواسم المشتركة

نقول إن $b$ قاسم للعدد $a$ إذا كان باقي القسمة الإقليدية لـ $a$ على $b$ معدوما. مثلا قواسم $12$ هي: $1،2،3،4،6،12$ وقواسم $18$ هي: $1،2،3،6،9،18$ .

القواسم المشتركة لـ $12$ و $18$ هي $1،2،3،6$ ، وأكبرها $6$ .

تعريف

القاسم المشترك الأكبر لعددين طبيعيين غير معدومين $a$ و $b$ هو أكبر قاسم مشترك لهما، ونرمز له بـ $PGCD (a; b)$ .

خوارزمية إقليدس

خاصية— مبدأ الخوارزمية

إذا كان $a = b \times q + r$ (القسمة الإقليدية) فإن $PGCD (a; b) = PGCD (b; r)$ . نكرر العملية حتى نحصل على باق معدوم: آخر باق غير معدوم هو القاسم المشترك الأكبر.

مثال— حساب PGCD(360 ; 252)

القسمة	الباقي
$360 = 252 \times 1 + 108$	$108$
$252 = 108 \times 2 + 36$	$36$
$108 = 36 \times 3 + 0$	$0$

آخر باق غير معدوم هو $36$ ، إذن $PGCD (360; 252) = 36$ .

عددان أوليان فيما بينهما واختزال الكسور

نقول إن العددين $a$ و $b$ أوليان فيما بينهما إذا كان $PGCD (a; b) = 1$ .

لجعل كسر غير قابل للاختزال نقسم بسطه ومقامه على القاسم المشترك الأكبر لهما:

\frac{252}{360} = \frac{252 \div 36}{360 \div 36} = \frac{7}{10}

تمارين

تمرين 1

احسب $PGCD (1053; 325)$ ثم اكتب الكسر $\frac{325}{1053}$ على شكل كسر غير قابل للاختزال.

تمرين 2: مشكلة البلاط

يريد بنّاء تبليط أرضية مستطيلة بعدها $360 cm$ و $252 cm$ ببلاطات مربعة متماثلة، أكبر ما يمكن، دون قصّ.

ما هو طول ضلع البلاطة؟
ما هو عدد البلاطات اللازمة؟

اختبر فهمك · QCM

العددان 35 و 24: