الدالة الأسية — الرياضيات 3 ثانوي

الدالة الأسية

تعريف الدالة الأسية وخواصها الجبرية، مشتقتها، نهاياتها الشهيرة، وحل المعادلات والمتراجحات — درس أساسي في البكالوريا.

فريق أساتذة توب أكاديمي 2 دقائق قراءة آخر تحديث 25 سبتمبر 2026

أهداف الدرس

معرفة تعريف الدالة الأسية وخواصها
حساب مشتقة دوال من الشكل e^u
استعمال النهايات الشهيرة
حل معادلات ومتراجحات أسية

التعريف

تعريف

توجد دالة وحيدة $f$ قابلة للاشتقاق على $R$ تحقق $f^{'} = f$ و $f (0) = 1$ . تسمى الدالة الأسية ونرمز لها بـ $exp$ ، ونكتب $exp (x) = e^{x}$ حيث $e = exp (1) \approx 2, 718$ .

الخواص الجبرية

خاصية

من أجل كل عددين حقيقيين $a$ و $b$ وكل عدد صحيح $n$ :

e^{a + b} = e^{a} \times e^{b} e^{- a} = \frac{1}{e ^{a}} e^{a - b} = \frac{e ^{a}}{e ^{b}} (e^{a})^{n} = e^{na}

ومن أجل كل $x$ : $e^{x} > 0$ .

المشتقة واتجاه التغير

$(e^{x})^{'} = e^{x} > 0$ : الدالة الأسية متزايدة تماما على $R$ .
إذا كانت $u$ قابلة للاشتقاق فإن: $(e^{u (x)})^{'} = u^{'} (x) e^{u (x)}$ .

مثال: $(e^{3 x^{2} + 1})^{'} = 6 x e^{3 x^{2} + 1}$ .

النهايات الشهيرة

x \to + \infty lim e^{x} = + \infty x \to - \infty lim e^{x} = 0 x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1}{x} = 1

x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x} = + \infty x \to - \infty lim x e^{x} = 0

المعادلات والمتراجحات

خاصية

e^{a} = e^{b} ⟺ a = b e^{a} < e^{b} ⟺ a < b

مثال— حل معادلة ومتراجحة

$e^{2 x + 1} = e^{x - 3} ⟺ 2 x + 1 = x - 3 ⟺ x = - 4$ .
$e^{x^{2}} \geq e^{4 x - 3} ⟺ x^{2} - 4 x + 3 \geq 0 ⟺ (x - 1) (x - 3) \geq 0$ ، ومنه $x \in] - \infty; 1] \cup [3; + \infty [$ .

تمارين

تمرين: دراسة دالة

نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $R$ بـ: $f (x) = (x - 1) e^{x}$ .

احسب نهايتي $f$ عند $- \infty$ وعند $+ \infty$ .
احسب $f^{'} (x)$ وادرس إشارتها، ثم شكل جدول تغيرات $f$ .

اختبر فهمك · QCM

مشتقة الدالة x ↦ e^(−2x) هي: