المتتاليات الحسابية والهندسية

الحد العام، المجموع، ونهاية المتتاليات الحسابية والهندسية، مع طريقة المتتالية المساعدة الكلاسيكية في البكالوريا.

فريق أساتذة توب أكاديمي 2 دقائق قراءة آخر تحديث 18 سبتمبر 2026

أهداف الدرس

تعريف

المتتالية $(u_{n})$ حسابية إذا وجد عدد حقيقي $r$ (الأساس) بحيث من أجل كل $n$ : $u_{n + 1} = u_{n} + r$ .

الحد العام: $u_{n} = u_{0} + n r = u_{p} + (n - p) r$ .
المجموع = (عدد الحدود × مجموع الحدين الأول والأخير) ÷ 2، أي: $u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n} = \frac{( n + 1 ) ( u _{0} + u _{n} )}{2}$ .

مثال

$u_{0} = 3$ و $r = 4$ : $u_{10} = 3 + 10 \times 4 = 43$ ، و $u_{0} + u_{1} + \dots + u_{10} = \frac{11 \times ( 3 + 43 )}{2} = 253$ .

تعريف

المتتالية $(v_{n})$ هندسية إذا وجد عدد حقيقي $q$ (الأساس) بحيث من أجل كل $n$ : $v_{n + 1} = q v_{n}$ .

الحد العام: $v_{n} = v_{0} \times q^{n}$ .
المجموع ( $q \neq = 1$ ) = الحد الأول × $\frac{1 - q ^{N}}{1 - q}$ حيث $N$ عدد الحدود، أي: $v_{0} + v_{1} + \dots + v_{n} = v_{0} \times \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$ .

مثال

$v_{0} = 2$ و $q = 3$ : $v_{5} = 2 \times 3^{5} = 486$ ، و $v_{0} + \dots + v_{5} = 2 \times \frac{1 - 3 ^{6}}{1 - 3} = 728$ .

خاصية

المتتالية المساعدة

$(u_{n})$ معرفة بـ $u_{0} = 0$ و $u_{n + 1} = \frac{1}{2} u_{n} + 3$ . نضع $v_{n} = u_{n} - 6$ .

اختبر فهمك · QCM

متتالية حسابية فيها u₂ = 7 و u₅ = 16. أساسها: