الأعداد المركبة: الشكل الجبري

العدد i، الشكل الجبري، المرافق، الطويلة، العمليات، وحل المعادلات من الدرجة الثانية ذات المعاملات الحقيقية في ℂ.

فريق أساتذة توب أكاديمي 2 دقائق قراءة آخر تحديث 28 سبتمبر 2026

أهداف الدرس

كتابة عدد مركب على الشكل الجبري
إجراء العمليات وحساب المرافق والطويلة
كتابة حاصل قسمة على الشكل الجبري
حل معادلة من الدرجة الثانية مميزها سالب

الشكل الجبري

تعريف

يوجد عدد $i$ يحقق $i^{2} = - 1$ . كل عدد مركب $z$ يكتب بطريقة وحيدة على الشكل $z = a + ib$ حيث $a$ و $b$ حقيقيان: $a = Re (z)$ الجزء الحقيقي و $b = Im (z)$ الجزء التخيلي.

المرافق والطويلة

مرافق $z = a + ib$ هو $\overset{z}{ˉ} = a - ib$ .
$z \times \overset{z}{ˉ} = a^{2} + b^{2}$ (عدد حقيقي موجب).
طويلة $z$ : $∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}$ .

العمليات

مثال

$(2 + 3 i) (1 - i) = 2 - 2 i + 3 i - 3 i^{2} = 5 + i$ .
لكتابة حاصل قسمة نضرب البسط والمقام في مرافق المقام:

\frac{1 + 2 i}{3 - i} = \frac{( 1 + 2 i ) ( 3 + i )}{( 3 - i ) ( 3 + i )} = \frac{3 + i + 6 i + 2 i ^{2}}{10} = \frac{1 + 7 i}{10}

المعادلة من الدرجة الثانية

خاصية

نعتبر $a z^{2} + b z + c = 0$ حيث $a$ ، $b$ ، $c$ حقيقية و $a \neq = 0$ ، ومميزها $Δ = b^{2} - 4 a c$ . إذا كان $Δ < 0$ فإن للمعادلة حلين مركبين مترافقين:

z_{1} = \frac{- b - i - Δ}{2 a} z_{2} = \frac{- b + i - Δ}{2 a}

تمارين

تمرين

حل في $C$ المعادلة: $z^{2} - 2 z + 5 = 0$ .

اختبر فهمك · QCM

طويلة العدد z = 3 − 4i هي: